IYPT 2009 - 11 - Transformers /Transformátory/ (krycí název: "Transformeři")

Zadání úlohy

Překlad zadání

Jednoduchý "zákon ideálních transformátorů" dává do přímé souvislosti vstupující a vystupující proud s poměrem závitů na cívkách. Vyzkoumejte roli frekvence a dalších parametrů, které určují neideální chování transformátorů.

 Zkrácené řešení

Běžně vyučovaná teorie

Na střední škole se učíme, že nejdůležitější parametr transformátoru je transformační poměr (k). Ten je určen poměrem počtu závitů cívek. Transformační poměr by se pak měl uplatňovat při transformaci napětí a proudu. Ovšem to platí dostatečně přesně pouze pro dva speciální případy.

První speciální případ je tzv. zapojení "naprázdno", kdy je sekundární obvod rozpojený. Potom se dá považovat odpor sekundáru za nekonečný a poměr napětí by měl být stejný jako poměr závitů cívek.

Naopak pokud sekundární obvod zkratujeme, tak bychom měli docílit toho, že poměr proudů v obvodech bude převráceným poměrem počtu závitů příslušných cívek. Takovému zapojení se říká "nakrátko".

Náš postup vylepšení

My jsme si uvědomili, že tento popis transformátoru je opravdu až příliš zjednodušený, protože v praxi zapojujeme do sekundárního obvodu nějaký spotřebič, který má konečný odpor. Dalším faktem je, že popsaná jednoduchá teorie předpokládá, že všechny součástky obvodu jsou ideální - vodiče nemají odpor, cívky jsou ideálními cívkami, v jádru transformátoru by měl být dokonale uzavřen magnetický indukční tok (laicky - neztrácíme energii tím, že bychom indukovali napětí někde v okolí, což se také trochu ve skutečnosti děje) atd.

Ovšem všechny tyto vlivy by bylo velice těžké obsáhnout. My jsme se zaměřili na to popsat poměry proudu a napětí pro libovolnou rezistanci zátěži - proto jsme použili symbolickou metodu řešení obvodů střídavého proudu pomocí komplexních čísel. Také jsme se přiblížili realitě tím, že jsme uvažovali odpory cívek. Z toho jsme sestavili soustavu těchto dvou rovnic:

Z těchto dvou rovnic a několika zjednodušujících předpokladů se nám podařilo vyjádřit poměry:

V těchto rovnicích jsou uvedeny indukčnosti místo počtu závitů, ale pokud si uvědomíme, že indukčnost solenoidu (dlouhé cívky) je závislá na druhé mocnině počtu jejích závitů, tak si již pozorný čtenář může provést další zanedbání, po kterých dojde k rovnicím, které se běžně využívají na střední škole.

My jsme se dali ovšem do další matematiky. Jednak jsme si zkusili měnit různé parametry obvodu a zkoumali jsme poměry proudů a napětí (jeden z plošných grafů můžete vidět napravo).

Největší význam by pro nás jako uživatele transformátoru měla nejspíš jeho účinnost. Proto jsme v matematickém odvození pokračovali a výsledkem byl opravdu dlouhý vzorec, který jsme také zkoumali matematickým modelováním. Po dosazení hodnot, které odpovídají nejznámějšímu typu transformátoru ze škol - rozkladnému transformátoru (ten můžete vidět na prvním obrázku v zadání) - jsme zjistili, že dosahuje se zapojeným rezistorem v sekundáru maximální účinnosti kolem 50%. (Jeden z vymodelovaných grafů účinnosti můžete vidět pod tímto textem.)

A výsledek naší práce?

Naučili jsme se používat velice účinnou metodu na výpočty v obvodech střídavých proudů. Zjistili jsme, že rozkladný transformátor nemá moc naději na to stát se nejúčinějším elektrickým zařízením roku. A nesmíme taky zapomenout na to, jak jsme se pobavili řešením komplikací plynoucích z toho, že přístroje jsou funkční pouze pro určitý frekvenční rozsah.

Nechceme ovšem prozradit všechno a připravit tě tak o zábavu, kterou by sis mohl/a užít při měření s transformátory i ty :)